Question

在某學(xué)校組織的一次籃球定點投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進一球得3分，在B處每投進一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次。某同學(xué)在A處的命中率q1為0.25，在B處的命中率為q2。該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用X表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為：

X 0 2 3 4 5 P 0.03 P1 P2 P3 P4 （1）求q2的值； （2）求隨機變量X的均值E（X）； （3）試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小。

Answer 1

解：（1）由題設(shè)知，“X=0”對應(yīng)的事件為“在三次投籃中沒有一次投中”，
由對立事件和相互獨立事件性質(zhì)可知 P（X=0）=（1-q₁）（1-q₂）²=0.03。
（2）根據(jù)題意
P₁=P（X=2）=（1-q₁）C¹₂（1-q₂）q₂=0.75×2×0.2×0.8=0.24；
P₂=P（X=3）=q₁（1-q₂）²=0.25×（1-0.8）²=0.01；
P₃=P（X=4）=（1-q₁）q₂²=0.75×0.82=0.48；
P₄=P（X=5）=q₁q₂+q₁（1-q₂）q₂ =0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24
因此E（X）=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63。
（3）用C表示事件“該同學(xué)選擇第一次在A處投，以后都在B處投，得分超過3分”，
用D表示事件“該同學(xué)選擇都在B處投，得分超過3分”，
則 P（C）=P（X=4）+P（X=5）=P₃+P₄=0.48+0.24=0.72
P（D）=q₂²+C₂¹q₂（1-q₂）q₂=0.8²+2×0.8×0.2×0.8=0.896
故P（D）＞P（C）
即該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大于該同學(xué)選擇第一次在A處投以后都在B處投得分超過3分的概率。