Question

已知函數(shù)f(x)，如果存在給定的實數(shù)對(a，b)，使得f(a＋x)·f(a－x)＝b恒成立，則稱f(x)為“S－函數(shù)”．

(Ⅰ)判斷函數(shù)f₁(x)＝x，f₂(x)＝3^x是否是“S－函數(shù)”；

(Ⅱ)若f₃(x)＝tanx是一個“S－函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(a，b)；

(Ⅲ)若定義域為R的函數(shù)f(x)是“S－函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(0，1)和(1，1)，當x∈[0，1]時，f(x)的值域為[1，2]，求當x∈[－2012，2012]時函數(shù)f(x)的值域．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)若是“S－函數(shù)”，則存在常數(shù)使得(a＋x)(a－x)＝b． 　　即x2＝a2－b時，對xÎ R恒成立．而x2＝a2－b最多有兩個解，矛盾． 　　因此不是“S－函數(shù)”　　2分 　　若是“S－函數(shù)”，則存在常數(shù)a，b使得， 　　即存在常數(shù)對(a，32a)滿足． 　　因此是“S－函數(shù)”　　4分 　　(Ⅱ)是一個“S－函數(shù)”，設(shè)有序?qū)崝?shù)對(a，b)滿足． 　　則tan(a－x)tan(a＋x)＝b恒成立． 　　當a＝時，tan(a－x)tan(a＋x)＝－cot2(x)不是常數(shù)　　5分 　　因此，時， 　　則有． 　　即恒成立　　7分 　　即． 　　當，時，tan(a－x)tan(a＋x)＝cot2(a)＝1， 　　因此滿足是一個“S－函數(shù)”的常數(shù)(a，b)＝　　9分 　　(Ⅲ)函數(shù)是“S－函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對和， 　　于是 　　即， 　　　　12分 　　　　13分 　　因此為以2為周期的周期函數(shù)． 　　當時，函數(shù)的值域為　　14分