Question

下列關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，an(n∈N*)對(duì)應(yīng)圖中星星的個(gè)數(shù)
（1）寫(xiě)出a₅，a₆的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若bn=

2n2-9n-11

2n

，對(duì)于（2）中的S_n，有c_n=S_n•b_n，求數(shù)列{|c_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由圖中所給的星星個(gè)數(shù)：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n；得出數(shù)列第n項(xiàng)，即通項(xiàng)公式．
（2）由an=

n(n+1)

2

，知

1

an

=2（

1

n

-

1

n+1

），利用裂項(xiàng)求和法能求出{

1

an

}的前n項(xiàng)和S_n．
（3）由bn=

2n2-9n-11

2n

，Sn=

2n

n+1

，知c_n=S_n•b_n=

2n

n+1

×

2n2-9n-11

2n

=2n-11，由此能求出數(shù)列{|c_n|}的前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）從圖中可觀察星星的構(gòu)成規(guī)律，
n=1時(shí)，有1個(gè)；
n=2時(shí)，有1+2=3個(gè)；
n=3時(shí)，有1+2+3=6個(gè)；
n=4時(shí)，有1+2+3+4=10個(gè)；
∴a₅=1+2+3+4+5=15，
a₆=1+2+3+4+5+6=21．
a_n=1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

．
（2）∵an=

n(n+1)

2

，
∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴{

1

an

}的前n項(xiàng)和S_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．
（3）∵bn=

2n2-9n-11

2n

，Sn=

2n

n+1

，
∴c_n=S_n•b_n=

2n

n+1

×

2n2-9n-11

2n

=2n-11，
∴數(shù)列{|c_n|}的前n項(xiàng)和：
T_n=|2-11|+|4-11|+|6-11|+|8-11|+|10-11|+|12-11|+|14-11|+…+|2n-11|
=9+7+5+3+1+1+3+…+（2n-11）
=-a₁-a₂-a₃-a₄-a₅+a₆+a₇+…+a_n
=

-Sn，0＜n≤5 Sn-2S5，n≥6

=

-[-9n+ n(n-1) 2 ×2]，0＜n≤5 -9n+ n(n-1) 2 d+50，n≥6

=

10n-n2，0＜n≤5 n2-10n+50，n≥6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意觀察法、裂項(xiàng)求和法、分類(lèi)討論法的靈活運(yùn)用．