如圖，過點P（1，0）作曲線C：的切線，切點為，設(shè)點在軸上的投影是點；又過點作曲線的切線，切點為，設(shè)在軸上的投影是；………；依此下去，得到一系列點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為.

（1）求直線的方程；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）記到直線的距離為，求證：時，

 

【答案】

（1）

（2）

（3）根據(jù)點到直線的距離公式來放縮得到證明。

【解析】

試題分析：解：（1）令，由得  1分

即 故   2分

，則切線的方程為：   4分

（2）令，則   5分

化簡得，   6分

故數(shù)列是以2為首項2為公比的等比數(shù)列   7分

所以    9分

（3）由（2）知，，

故  10分

   11分

   12

故  14分

考點：數(shù)列和點到直線的距離

點評：主要是考查了數(shù)列于解析幾何的綜合運(yùn)用，屬于難度題。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，過點P（1，0）作曲線C：y=xk（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切線，切點為Q1，設(shè)Q1點在x軸上的投影是點P1；又過點P1作曲線C的切線，切點為Q2，設(shè)Q2在x軸上的投影是P2；…；依此下去，得到一系列點Q1，Q2，…，Qn，…，設(shè)點Qn的橫坐標(biāo)為an．
（Ⅰ）試求數(shù)列{an}的通項公式an；（用k的代數(shù)式表示）
（Ⅱ）求證：an≥1+
n
k-1
；
（Ⅲ）求證：
n
i=1
i
ai
＜k2-k（注：
n
i=1
ai=a1+a2+…+an）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•韶關(guān)二模）如圖，過點P（1，0）作曲線C：y=x2（x∈（0，+∞））的切線，切點為Q1，設(shè)點Q1在x軸上的投影是點P1；又過點P1作曲線C的切線，切點為Q2，設(shè)Q2在x軸上的投影是P2；…；依此下去，得到一系列點Q1，Q2，Q3-Qn，設(shè)點Qn的橫坐標(biāo)為an．
（1）求直線PQ1的方程；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）記Qn到直線PnQn+1的距離為dn，求證：n≥2時，
1
d1
+
1
d2
+…
1
dn
＞3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，過點P（1，0）作曲線C：y=x2（x∈（0，+∞））的切線，切點為Q1，設(shè)點Q1在x軸上的投影是點P1；又過點P1作曲線C的切線，切點為Q2，設(shè)Q2在x軸上的投影是P2；…；依此下去，得到一系列點Q1，Q2，Q3-Qn，設(shè)點Qn的橫坐標(biāo)為an．
（1）求直線PQ1的方程；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）記Qn到直線PnQn+1的距離為dn，求證：n≥2時，數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式+…數(shù)學(xué)公式＞3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年廣東省韶關(guān)市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，過點P（1，0）作曲線C：y=x2（x∈（0，+∞））的切線，切點為Q1，設(shè)點Q1在x軸上的投影是點P1；又過點P1作曲線C的切線，切點為Q2，設(shè)Q2在x軸上的投影是P2；…；依此下去，得到一系列點Q1，Q2，Q3-Qn，設(shè)點Qn的橫坐標(biāo)為an．
（1）求直線PQ1的方程；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）記Qn到直線PnQn+1的距離為dn，求證：n≥2時，++…＞3．

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