Question

已知：函數(shù)．
（1）若f（x）≥0恒成立，求參數(shù)t的取值范圍；
（2）證明：．

Answer 1

（1）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得
①當(dāng)t＞1時(shí)，由f′（x）＜0，可得1＜x＜t，∴f（x）在（1，t）上遞減，∴f（x）≤f（1）=0
∴f（x）≥0不恒成立；
②當(dāng)-1＜t≤1時(shí)，由f′（x）≥0，可得x≥1，∴f（x）在[1，+∞）上遞增，∴f（x）≥f（1）=0
∴f（x）≥0恒成立；
綜上所述，參數(shù)t的取值范圍為（-1，1]；
（2）證明：由（1）知，t=1時(shí)有f（x）≥0，即
∴當(dāng)x＞1時(shí)，
令x=1+，∴=（k=1，2…，n）
將上述式子相加：
=
∴
∴
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，①當(dāng)t＞1時(shí)，由f′（x）＜0，可得f（x）在（1，t）上遞減，f（x）≥0不恒成立；②當(dāng)-1＜t≤1時(shí)，f（x）在[1，+∞）上遞增，f（x）≥0恒成立，由此可求參數(shù)t的取值范圍；
（2）由（1）知，t=1時(shí)有f（x）≥0，即，故當(dāng)x＞1時(shí)，，令x=1+，可得=（k=1，2…，n），將上述式子相加，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，正確放縮是解題的關(guān)鍵．