Question

已知函數(shù)
（1）a＞1，解關(guān)于x的方程f（x）=3．
（2）記函數(shù)g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），若g（x）的最值與a無關(guān)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令=3
當(dāng)x≥0時(shí)，方程變?yōu)閍^2x-3a^x+2=0，解得a^x=1或a^x=2，可得=0或log_a2
當(dāng)x＜0時(shí)，方程變?yōu)?+2=3a^x，解得x=0故此類下無解．
綜上 x=0或log_a2（4分）；
（2）由題設(shè)，g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），下分類討論：
①若a＞1，則
（�。┊�(dāng)x≥0時(shí)，a^x≥1，g（x）=3a^x，∴g（x）∈[3，+∞）
（ⅱ）-2≤x＜0時(shí)，，g（x）=a^-x+2a^x
∴g'（x）=-a^-xlna+2a^xlna=
從而當(dāng)即時(shí)，對?x∈（-2，0），g'（x）＞0，
∴g（x）在[-2，0）上遞增
∴g（x）∈，由此g（x）有最小值與a有關(guān)，不符合．
當(dāng)即時(shí)，由g'（x）=0得
則時(shí)，g'（x）＜0；時(shí)，g'（x）＞0
∴g（x）在上遞減，在上遞增，∴g（x）_min==
g（x）有最小值為與a無關(guān)，符合要求（6分）
②若0＜a＜1，則
（�。﹛≥0時(shí)，0＜a^x≤1，g（x）=3a^x，∴g（x）∈（0，3]
（ⅱ）-2≤x＜0時(shí)，，g（x）=a^-x+2a^x，
∴g'（x）=-a^-xlna+2a^xlna=＜0，∴g（x）在[-2，0）上遞減，
∴g（x）∈，由此g（x）有最大值與a有關(guān)，不符合
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（6分）．
分析：（1）令=3，對x的范圍分類進(jìn)行討論求解即可．求解本題宜分為兩類，分別為x≥0時(shí)與x＜0時(shí)．
（2） 按a＞1，與0＜a＜1分兩類對函數(shù)的最值進(jìn)行討論，求出最值，若最值與參數(shù)無關(guān)，則此時(shí)的a的范圍即所求．
點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的綜合題，考查解指數(shù)方程與指數(shù)函數(shù)下的恒成立問題求參數(shù)，在第二小題的求解中，由于參數(shù)a的取值范圍不同，轉(zhuǎn)化的結(jié)果不同，故采取了分類討論的方式來探究本題，此題難度較大，是訓(xùn)練復(fù)雜邏輯推理的一道好題，很好地訓(xùn)練了分類討論的思想與轉(zhuǎn)化化歸的思想．