Question

函數(shù)f(x)=log2x-3sin(

π

2

x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：函數(shù)f(x)=log2x-3sin(

π

2

x)的零點(diǎn)即log2x-3sin(

π

2

x)=0的根，設(shè)h（x）=3sin（

π

2

x），g（x）=log₂x，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出g（x）和h（x）的圖象，通過討論h（x、g（x）的單調(diào)性與最值，得它們有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，由此可得原函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：函數(shù)f(x)=log2x-3sin(

π

2

x)的零點(diǎn)即
方程log2x-3sin(

π

2

x)=0的根，由此可得
設(shè)h（x）=3sin（

π

2

x），g（x）=log₂x，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出g（x）和h（x）的圖象
函數(shù)g（x）=log₂x是對數(shù)函數(shù)，因?yàn)?＞1，所以圖象為經(jīng)過點(diǎn)（1，0）的增函數(shù)的曲線
而h（x）=3sin（

π

2

x）的周期為T=

2π

π 2

=4，在原點(diǎn)的右側(cè)它的第一個(gè)最大值點(diǎn)為x=1，對應(yīng)圖中A（1，3），第二個(gè)最大值點(diǎn)為x=5，對應(yīng)圖中B（5，3）
∵log₂5＜3，
∴曲線g（x）=log₂x經(jīng)過點(diǎn)B的下方，在B的左右各有一個(gè)交點(diǎn)
當(dāng)x≤8時(shí)，log₂x≤3，兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)；
而當(dāng)x＞8時(shí)，h（x）=3sin（

π

2

x）≤3＜g（x）=log₂x，兩圖象不可能有交點(diǎn)
∴h（x）=3sin（

π

2

x）與g（x）=log₂x的圖象有且僅有3個(gè)不同的交點(diǎn)，得函數(shù)f(x)=log2x-3sin(

π

2

x)的零點(diǎn)有3個(gè)
故答案為：B

點(diǎn)評：本題給出含有三角函數(shù)和對數(shù)的函數(shù)，求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，著重考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性、最值和函數(shù)零點(diǎn)的求法等知識，屬于中檔題．