Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)中，設(shè)橢圓：的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與橢圓相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為，直線與橢圓有兩個(gè)不同的和交點(diǎn)，請(qǐng)問是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）橢圓C的方程為；（2）不存在常數(shù)，使得向量與共線，理由見解析。

【解析】

試題分析：

(1)由題意結(jié)合橢圓的定義有：，在中應(yīng)用勾股定理可得，結(jié)合可得，則橢圓的方程為.

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不滿足題意；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)：設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，由判別式大于零可得．設(shè),由韋達(dá)定理可得 ，，而，則原問題等價(jià)于．聯(lián)立方程可得．而，故不存在常數(shù)，使得向量與共線．

試題解析：

(1)由橢圓定義可知.

由題意,.

又由△可知，,，

又，得.

橢圓的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不滿足題意；

直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

代入橢圓方程，得．

整理，得①

因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和等價(jià)于，

解得．

設(shè),則＝,

由①得②

又③

因?yàn)?/span>，所以．

所以與共線等價(jià)于．

將②③代入上式，解得．

因?yàn)?/span>

所以不存在常數(shù)，使得向量與共線．