Question

如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，離心率e=

3

5

，三角形△BF₁F₂的周長(zhǎng)為16．直線y=kx（k＞0）與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距為2c．由題意可得a，c的關(guān)系，結(jié)合a²=b²+c²，可求a，b，c進(jìn)而可求橢圓的方程；
（2）解法一：將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程：（16+25k²）x²=400
如圖，設(shè)E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），表示出四邊形AEBF的面積，最后利用基本不等式求S的最大值；
解法二：由題設(shè)，|BO|=4，|AO|=5．再設(shè)y₁=kx₁，y₂=kx₂，表示出四邊形AEBF的面積為S=S_△BEF+S_△AEF=4x₂+5y₂，最后利用基本不等式求其最大值即可．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距為2c，
依題意有

a2=b2+c2 e= c a = 3 5 2a+2c=16

，解得

a=5 b=4 c=3

∴橢圓的方程為

x2

25

+

y2

16

=1，（5分）
（2）解法一：由

y=kx x2 25 + y2 16 =1

消去y，得（16+25k²）x²=400
如圖，設(shè)E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，∴x1=-

20

16+25k2

，x2=

20

16+25k2

．①（8分）
∵直線AB的方程分別為

x

5

+

y

4

=1即4x+5y-20=0，
∴點(diǎn)E，F(xiàn)到AB的距離分別為h1=

|4x1+5kx1-20|

41

=

20(4+5k+ 16+25k2 )

41 16+25k2

，h2=

|4x2+5kx2-20|

41

=

20(4+5k- 16+25k2 )

41 16+25k2

（10分）
又|AB|=

52+42

=

41

，
所以四邊形AEBF的面積為
S=

1

2

|AB|(h1+h2)=

1

2

•

41

•

40(4+5k)

41 16+25k2

=

20(4+5k)

16+25k2

=20

16+25k2+40k 16+25k2

=20

1+ 40k 16+25k2

≤20

1+ 40k 2 16×25k2

=20

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)16=25k²即k=

4

5

時(shí)，上式取等號(hào)．所以S的最大值為20

2

．（14分）
解法二：由題設(shè)，|BO|=4，|AO|=5．
設(shè)y₁=kx₁，y₂=kx₂，由①得x₂＞0，y₂=-y₁＞0，且16

x

2 2

+25

y

2 2

=400
故四邊形AEBF的面積為S=S_△BEF+S_△AEF=4x₂+5y₂（10分）=

(4x2+5y2)2

=

16 x 2 2 +25 y 2 2 +40x2y2

≤

2(16 x 2 2 +25 y 2 2 )

=20

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)4x₂=5y₂時(shí)，上式取等號(hào)．所以S的最大值為20

2

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了方程的思想的應(yīng)用，要注意弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用．