Question

在正方體中，如圖Ｅ、Ｆ分別是 ，CD的中點(diǎn)，
（1）求證：；
（2）求.

Answer 1

(1)證明見解析;(2).

解析試題分析：(1)利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.(2)證明證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（3)把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;(4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.
試題解析：解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，（1）不妨設(shè)正方體的棱長為1，

則D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），
E（1，1，），F(xiàn)（0，，0），
則＝（0，，－1），＝（1，0，0），   
＝（0，1，）， 
＝0，.
（２）（1，1，1），C（0，1，0），故＝（1，0，1），＝（－1，－，－），
＝－1＋0－＝－，  
，，    
則cos.
.     
考點(diǎn)：利用空間向量證明線線垂直和求夾角.