用數(shù)學(xué)歸納法證明

(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+…+［(2n-1)(2n)2-2n(2n+1)2］=-n(n+1)(4n+3)(n∈N*).

證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1×22-2×32=-14,右邊=-1×2×7=-14,等式成立.?

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即

(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+…+［(2k-1)(2k)2-2k(2k+1)2］=-k(k+1)(4k+3),則當(dāng)n=k+1時(shí),

(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+…+［(2k-1)(2k)2-2k(2k+1)2］+［(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2］

=-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)［(4k2+12k+9)-(4k2+6k+2)］?

=-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(6k+7)

=-(k+1)(4k2+15k+14)?

=-(k+1)(k+2)(4k+7)?

=-(k+1)［(k+1)+1］［4(k+1)+3］.?

這說明當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.?

由(1),(2)可知等式對(duì)n∈N*都成立.

溫馨提示

用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式,關(guān)鍵是在證明n=k+1時(shí)命題成立.從n=k+1時(shí)的待證恒等式的一端“拼湊”出歸納假設(shè)恒等式的一端，再運(yùn)用歸納假設(shè)即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+n2=
n4+n2
2
，則當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上（　　）
A、k2+1
B、（k+1）2
C、
(k+1)4+(k+1)2
2
D、（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用數(shù)學(xué)歸納法證明1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n-1
＜n（n∈N+，n＞1）時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式（　�。�
A、1+
1
2
＜2
B、1+
1
2
+
1
3
＜2
C、1+
1
2
+
1
3
＜3
D、1+
1
2
+
1
3
+
1
4
＜3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以下說法正確的是
③④
③④
．
①lg9•lg11＞1．
②用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=
1-an+21-a
(n∈N*，a≠1)”在驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊=1．
③已知f（x）是R上的增函數(shù)，a，b∈R，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）的充要條件是a+b≥0．
④用分析法證明不等式的思維是從要證的不等式出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+
1
2
+
1
22
+…+
1
22n
=2-
1
22n
(n∈N*)”在第一步驗(yàn)證取初始值時(shí)，左邊計(jì)算的結(jié)果是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用數(shù)學(xué)歸納法證明1+x+x2+…+xn+1=
1-xn+2
1-x
(x≠1)，在驗(yàn)證當(dāng)n=1等式成立時(shí)，其左邊為（　�。�

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