已知數(shù)列的前項的和為， ，求證：數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是．

詳見解析．

解析試題分析：從兩個方面來證明此題：若數(shù)列為等差數(shù)列，則其前項和是關(guān)于的二次函數(shù)，且常數(shù)項為,即；若的前項和中，可根據(jù)其前項和求出通項公式，從而可以證明其為等差數(shù)列．
試題解析：證：若數(shù)列為等差數(shù)列，則其前項和，是關(guān)于的二次函數(shù)，且常數(shù)項為，而的前項和，所以；
反過來，當數(shù)列的前項和中，則，當時，，時， ，因為也符合，所以數(shù)列的通項公式為，，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
綜上所述，數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是．
考點：本題主要考查了等差數(shù)列的前項和公式以及充分必要條件的關(guān)系．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列是等差數(shù)列，，.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列中,且點在直線上。
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若函數(shù)求函數(shù)的最小值；
(3)設(shè)表示數(shù)列的前項和.試問:是否存在關(guān)于的整式,使得
對于一切不小于2的自然數(shù)恒成立？若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在,試說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列{an}滿足：， ， 
（Ⅰ）求，并求數(shù)列{an}通項公式；
（Ⅱ）記數(shù)列{an}前2n項和為，當取最大值時，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等差數(shù)列的首項，，前項和為．
(Ｉ)求及；
(Ⅱ)設(shè)，，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等差數(shù)列的公差，它的前項和為，若，且、、成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差d≠0，且成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等差數(shù)列的首項,公差.且分別是等比數(shù)列的.
(1)求數(shù)列與的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列對任意自然數(shù)均有成立，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等差數(shù)列滿足：，.的前n項和為.
（Ⅰ）求 及；
（Ⅱ）若 ,（），求數(shù)列的前項和.

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