Question

（2011•聊城一模）如圖，四棱錐中S-ABCD中，底面ABCD是棱形，其對角線的交點為O，且SA=AC，SA⊥BD，
（Ⅰ）求證：SO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)∠BAD=60°，AB=SO=2，P是側(cè)棱上的一點，且SD⊥平面APC，求直線SB與平面APC所成的角的正弦值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點M，使SM∥平面APC？若存在，求出BM的長，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中四棱錐中S-ABCD中，底面ABCD是菱形，及SA=AC，SA⊥BD，我們易得到BD⊥平面SAC，SO⊥BD，SO⊥AC，進而由線面垂直的判定定理得到SO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）以O(shè)為原點，以O(shè)A，OB，OS為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標系，結(jié)合∠BAD=60°，AB=SO=2，P是側(cè)棱上的一點，且SD⊥平面APC，我們求出棱錐中每個頂點的坐標，進而求出直線SB的方向向量及平面APC的法向量，然后代入線面夾角向量法公式，即可得到直線SB與平面APC所成的角的正弦值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)

CM

=λ

CS

，然后根據(jù)SM∥平面APC，則直線SM的方向向量及平面APC的法向量垂直，構(gòu)造關(guān)于λ的方程，解方程即可得到λ的值，進而得到答案．

解答：解：（I）證明：∵四棱錐中S-ABCD中，底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，又由SA⊥BD，SA∩AC=A
∴BD⊥平面SAC，又由SO?平面SAC，
∴SO⊥BD，
又由SA=AC，O為AC的中點，
故SO⊥AC，又由BD∩AC=O
∴SO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）以O(shè)為原點，以O(shè)A，OB，OS為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標系
∵∠BAD=60°，底面ABCD為菱形，
∴△ABD和△BCD都是等邊三角形，
又由AB=SO=2，
∴B（0，1，0），D（0，-1，0），S（0，0，2），C（-

3

，0，0）
∴

SB

=（0，1，-2），

SD

=（0，-1，-2）
∵SD⊥平面APC，
∴

SD

=（0，-1，-2）是平面APC的一個法向量
∵cos＜

SB

，

SD

＞=

-1+4

5 × 5

=

3

5

∴直線SB與平面APC所成角的正弦值為

3

5

（III）假設(shè)在側(cè)棱SC上存在一點M滿足題意，
設(shè)

CM

=λ

CS

，
則

BM

=

BC

+λ

CS

=（-

3

，-1，0）+λ(

3

，0，2)=（

3

λ-

3

，-1，2λ）
由BM∥平面APC得，BM⊥SD，
∴

BM

•

SD

=0，即1-4λ=0
∴λ=

1

4

∵0＜

1

4

＜1
∴在側(cè)棱SC上存在一點M，使BM∥平面PAC，且CM=

1

4

SC=

7

4

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面所成的解，要求熟練掌握菱形的幾何特征，根據(jù)其它已知條件，結(jié)合線面垂直及線面平行的判定定理進行解答．