Question

（理）已知函數．
（1）試判斷f（x）的奇偶性并給予證明；
（2）求證：f（x）在區(qū)間（0，1）單調遞減；
（3）右圖給出的是與函數f（x）相關的一個程序框圖，試構造一個公差不為零的等差數列{a_n}，使得該程序能正常運行且輸出的結果恰好為0．請說明你的理由．

Answer 1

解：（1）由
得 ，
則 ，任取 ，
都有f（-x）==-f（x），則該函數為奇函數．
（2）任取0＜x₁＜x₂＜1，
則有0＜x₁²＜x₂²＜1?2-x₁²＞2-x₂²＞1，?ln（2-x₁²）＞ln（2-x₂²）＞0．
又 ，
所以 ，
即f（x₁）＞f（x₂），
故函數f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞減．
（3）由程序框圖知，公差不為零的等差數列{a_n}要滿足條件，
則必有f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）=0．
由（1）知函數f（x）是奇函數，而奇函數的圖象關于原點對稱，
所以要構造滿足條件的等差數列{a_n}，可利用等差數列的性質，只需等差數列{a_n}
滿足：a₁+a₁₀=a₂+a₉═a₅+a₆=0
且 即可．
我們可以先確定a₅，a₆使得a₅+a₆=0，因為公差不為零的等差數列{a_n}必是單調的數列，只要它的最大項和最小項在 中，即可滿足要求．
所以只要a₅，a₆
對應的點盡可能的接近原點．如取a₅=-0.1，a₆=0.1，存在滿足條件的一個等差數列{a_n}可以是a_n=0.2n-1.1（1≤n≤10，n∈N^*）．
分析：（1）先求出函數的定義域，得到定義域關于原點對稱，在檢驗-x與x的函數值之間的關系，得到奇函數．
（2）根據單調性的定義，設出已知大小關系的任意兩個變量，利用定義證明函數的單調性，得到函數是一個增函數．
（3）由程序框圖知，公差不為零的等差數列{a_n}要滿足條件，則必有f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）=0．所以要構造滿足條件的等差數列{a_n}，可利用等差數列的性質，只需等差數列{a_n}滿足：a₁+a₁₀=a₂+a₉═a₅+a₆=0．
點評：本題主要考查函數的奇偶性、單調性，以及借助于程序框圖考查等差數列的有關性質，解題的關鍵是看清題目的實質，抓住解題的主要方法．