Question

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x+4π）=f（x）+f（2π）成立，那么函數(shù)f（x）可能是（ ）
A.f（x）=2sin x
B.f（x）=2cos2 x
C.f（x）=2cos2 x
D.f（x）=2cos x

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵f（x+4π）=f（x）+f（2π）， ∴f（﹣2π+4π）=f（﹣2π）+f（2π），
∴f（﹣2π）=0，
又函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（2π）=0．
∴f（x+4π）=f（x）+0=f（x），
∴f（x）是以4π為周期的函數(shù)．
f（x）=2cos2 x=1+cos x，以4π為周期的函數(shù)．
故選：B．
【考點精析】利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．