Question

【題目】已知函數(shù)有極值，且導函數(shù)的極值點是的零點。（極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值）

求b關于a的函數(shù)關系式，并寫出定義域；

證明：b>3a;

若， 這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于，求a的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）因為，所以，所以，

所以，所以，

因為，所以.

（2），

因為，

所以，所以b>3a.

（3）由（1），

，

，∴，∴，，.

【解析】

解：（1）由，得.

當時，有極小值.

因為的極值點是的零點.

所以，又，故.

因為有極值，故有實根，從而，即.

時，，故在R上是增函數(shù)，沒有極值；

時，有兩個相異的實根，.

列表如下

x
	+	0	–	0	+
		極大值		極小值

故的極值點是.

從而，

因此，定義域為.

（2）由（1）知，.

設，則.

當時，，從而在上單調(diào)遞增.

因為，所以，故，即.

因此.

（3）由（1）知，的極值點是，且，.

從而

記，所有極值之和為，

因為的極值為，所以，.

因為，于是在上單調(diào)遞減.

因為，于是，故.

因此a的取值范圍為.