Question

下列說法中所有正確命題的序號是

④

．
①函數(shù)y=sin（2x-

π

3

）的周期為π，且圖象關(guān)于直線x=

π

3

對稱；
②設(shè)ω＞0，將函數(shù)f（x）=sin（ωx+3）+1的圖象向左平移

2π

3

個單位后與原圖象重合，則ω 的最小值是2；
③在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的即不充分也不必要條件；
④函數(shù)y=2tan（

x

2

+

π

4

）的一個對稱中心是（

π

2

，0）；
⑤如果函數(shù)y=sin x+acosx的圖象關(guān)于直線x=-

π

6

 對稱，則a=1．

Answer 1

分析：①函數(shù)y=sin（2x-

π

3

）的周期T=π，對稱軸方程為x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z；
②根據(jù)圖象向左平移

2π

3

個單位后與原圖象重合，得到

2π

3

是一個周期，寫出周期的表示式，解出不等式，得到ω的最小值；
③由正弦定理知

a

sinA

=

b

sinB

=2R，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得結(jié)論；
④由y=tanx的對稱中心為（

kπ

2

，0）（k∈Z），即可作出判斷；
⑤利用輔助角公式化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過x=-

π

6

，函數(shù)取得最值，求出a的值即可．

解答：解：①函數(shù)y=sin（2x-

π

3

）的周期T=

2π

2

=π，
對稱軸方程為：2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，即x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z，
∴圖象不關(guān)于直線x=

π

3

對稱，故①不成立；
②∵圖象向左平

2π

3

個單位后與原圖象重合，
∴

2π

3

是一個周期，
∴

2π

ω

=T≤

2π

3

，
∴ω≤3，所以ω的最小值是3，故②不正確；
③由正弦定理知

a

sinA

=

b

sinB

=2R，
∵sinA＞sinB，
∴a＞b，
∴A＞B．
反之，∵A＞B，∴a＞b，
∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＞sinB，
故在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要條件，故③不正確；
：∵y=tanx的對稱中心為（

kπ

2

，0）（k∈Z），
∴由

x

2

+

π

4

=

kπ

2

，得：x=kπ-

π

2

，k∈Z．
當k=1時，x=

π

2

，
故函數(shù)y=2tan（

x

2

+

π

4

）的一個對稱中心是（

π

2

，0），故④正確；
⑤y=sinx+acosx=

1+a2

sin（x+φ），在對稱軸處取得最大值或最小值，
∴sin（-

π

6

）+acos（-

π

6

））=±

1+a2

，
即-

1

2

+

3

2

a=±

1+a2

，
解得a=-

3

，故⑤不成立．
故答案為：④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，是中檔題．解題時要注意三角函數(shù)、圖象的平移、正弦定理、對稱中心、恒等變換等知識點的合理運用．