已知 是等差數(shù)列,是公比為的等比數(shù)列,,記為數(shù)列的前項(xiàng)和,
(1)若是大于的正整數(shù),求證:;
(2)若是某一正整數(shù),求證:是整數(shù),且數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng);
(3)是否存在這樣的正數(shù),使等比數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列?若存在,寫出一個(gè)的值,并加以說(shuō)明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(1)
(2)存在使得中有三項(xiàng)成等差數(shù)列。
【解析】
試題分析:設(shè)的公差為,由,知,()
(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042423074196914652/SYS201304242308437347575034_DA.files/image011.png">,所以,
,
所以
(2),由,
所以解得,或,但,所以,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042423074196914652/SYS201304242308437347575034_DA.files/image020.png">是正整數(shù),所以是整數(shù),即是整數(shù),設(shè)數(shù)列中任意一項(xiàng)為
,設(shè)數(shù)列中的某一項(xiàng)=
現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù),使得,即在方程中有正整數(shù)解即可,,所以
,若,則,那么,當(dāng)時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042423074196914652/SYS201304242308437347575034_DA.files/image036.png">,只要考慮的情況,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042423074196914652/SYS201304242308437347575034_DA.files/image015.png">,所以,因此是正整數(shù),所以是正整數(shù),因此數(shù)列中任意一項(xiàng)為
與數(shù)列的第項(xiàng)相等,從而結(jié)論成立。
(3)設(shè)數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列,則有
2設(shè),所以2,令,則,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042423074196914652/SYS201304242308437347575034_DA.files/image019.png">,所以,所以,即存在使得中有三項(xiàng)成等差數(shù)列。
考點(diǎn):本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式,等差數(shù)列的概念。
點(diǎn)評(píng):難題,等比數(shù)列、等差數(shù)列相關(guān)內(nèi)容,已是高考必考內(nèi)容,其難度飄忽不定,有時(shí)突出考查求和問題,如“分組求和法”、“裂項(xiàng)相消法”、“錯(cuò)位相減法”等,有時(shí)則突出涉及數(shù)列的證明題,如本題,突出考查學(xué)生的邏輯思維能力。本題解法中,注意通過(guò)構(gòu)造“一般項(xiàng)”加以研究,帶有普遍性。
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已知是等差數(shù)列,d為公差且不為0,a1和d均為實(shí)數(shù),它的前n項(xiàng)和記作Sn,設(shè)集合.試問下列命題是否是真命題,如果是真命題,請(qǐng)給予證明;如果是假命題,請(qǐng)舉反例說(shuō)明.
(1)若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則這些點(diǎn)都在同一條直線上;
(2)至多有一個(gè)元素;
(3)當(dāng)a1≠0時(shí),一定有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年甘肅省高三百題集理科數(shù)學(xué)試卷(解析版)(一) 題型:選擇題
已知是等差數(shù)列,是其前項(xiàng)和,,則過(guò)點(diǎn)的直線的斜率是( )
A.4 B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年江西省高一3月月考數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
已知是等差數(shù)列,是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,且,,.
⑴求通項(xiàng)公式和;
⑵若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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已知是等差數(shù)列,是其前n項(xiàng)和,,,則過(guò)點(diǎn)P(3,),Q(4,)的直線的斜率是
A.4 B. C.-4 D.-14
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