Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)到長軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過橢圓的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長；
（3）如圖，過原點(diǎn)相互垂直的兩條直線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成四邊形PRSQ，設(shè)直線PS的傾斜角為，試問：△PSQ能否為正三角形，若能求θ的值，若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可知焦點(diǎn)到長軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為a+c和a-c，再把所給數(shù)值代入，即可得出a，b的值，求出橢圓的方程．
（2）利用弦長公式計(jì)算即可，注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．
（3）先假設(shè)：△PSQ能為正三角形，設(shè)直線PS的方程，則直線RQ的方程也可知，分別與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求出PS與OQ的長度，再根據(jù)正三角形中的關(guān)系判斷即可．
解答：解：（1）由題意得，解得
所求的方程為
（2）直線方程為，
代入橢圓方程得，所以，
由弦長公式求得．
（3）當(dāng)P在y軸上，Q在x軸上時(shí)，△PSQ不是正三角形． 
當(dāng)P不在y軸上時(shí)，設(shè)直線PS的斜率為k，P（x₁，kx₁），則直線RQ的斜率為，
由得（1），同理（2）
由△PSQ為正三角形，得，即3|OP|²=|OQ|²
所以，化簡得，
，即．
所以△OPQ不是正三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，弦長公式的應(yīng)用，以及韋達(dá)定理在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系判斷中的應(yīng)用