【題目】已知函數(shù).

（I）討論函數(shù)的單調(diào)性,并證明當(dāng)時， ;

（Ⅱ）證明：當(dāng)時，函數(shù)有最小值，設(shè)最小值為，求函數(shù)的值域.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上恒非負(fù)，故得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增得，即得不等式，（2）利用（1）結(jié)論可得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得有一唯一零點(diǎn)且．從而可得在處取最小值，利用化簡，得．最后再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，即得函數(shù)的值域.

試題解析：（1）由得

故在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，由上知，

即，即，得證.

（2）對求導(dǎo)，得， ．

記， ．

由（Ⅰ）知，函數(shù)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

又， ，所以存在唯一正實(shí)數(shù)，使得．

于是，當(dāng)時， ， ，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ， ，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．

所以在內(nèi)有最小值，

由題設(shè)即．

又因為．所以．

根據(jù)（Ⅰ）知， 在內(nèi)單調(diào)遞增， ，所以．

令，則，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

所以，

即函數(shù)的值域為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知向量，設(shè)．

（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）在中，分別為內(nèi)角的對邊，且，求的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）分別求函數(shù)與在區(qū)間上的極值；

（2）求證：對任意， ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分8分） 已知拋物線C：y=-x2+4x-3 ．

（1）求拋物線C在點(diǎn)A（0，－3）和點(diǎn)B（3，0）處的切線的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求拋物線C與它在點(diǎn)A和點(diǎn)B處的切線所圍成的圖形的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=﹣2sin（2x+φ）（|φ|＜π），若 ，則f（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間可以是（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，底面為平行四邊形， ， ， ， 點(diǎn)在底面內(nèi)的射影在線段上，且， ， 為的中點(diǎn)， 在線段上，且．

（Ⅰ）當(dāng)時，證明：平面平面；

（Ⅱ）當(dāng)平面與平面所成的二面角的正弦值為時，求四棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為， .

（1）求直線與圓相切的概率；

（2）將， ，5的值分別作為三條線段的長，求這三條線段能圍成等腰三角形的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列命題：
①函數(shù) 是奇函數(shù)；
②存在實(shí)數(shù)x，使sinx+cosx=2；
③若α，β是第一象限角且α＜β，則tanα＜tanβ；
④ 是函數(shù) 的一條對稱軸；
⑤函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 成中心對稱．
其中正確命題的序號為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形OQRP為矩形，其中P，Q分別是函數(shù)f（x）= sinwx（A＞0，w＞0）圖象上的一個最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，R為圖象與x軸的交點(diǎn)．

（1）求f（x）的解析式
（2）對于x∈[0，3]，方程f2（x）﹣af（x）+1=0恒有四個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

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