【題目】如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面，分別為的中點(diǎn).

（1）證明：平面.

（2）若，求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）記的中點(diǎn)為，連接，，通過證明，且推出四邊形為平行四邊形，則，由線線平行推出線面平行；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面、平面的法向量，代入即可求得二面角的余弦值從而求正弦值.

（1）證明：記的中點(diǎn)為，連接，.

因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，

則，且.

因?yàn)?/span>，且，

所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，

則.

又平面，平面，

所以平面.

（2）以為原點(diǎn)，分別以，，為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

設(shè)平面的法向量，

則

令，則.

設(shè)平面的法向量為，

則

令，則.

，

設(shè)二面角為，則，

即二面角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知為拋物線上一點(diǎn)，斜率分別為，的直線PA，PB分別交拋物線于點(diǎn)A，B（不與點(diǎn)P重合）.

（1）證明：直線AB的斜率為定值；

（2）若△ABP的內(nèi)切圓半徑為.

（i）求△ABP的周長(zhǎng)（用k表示）；

（ii）求直線AB的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

（1）當(dāng)的傾斜角為時(shí)，求直線的方程；

（2）試探究在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求的極值；

（2）若，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為該橢圓的一條垂直于軸的動(dòng)弦，直線與軸交于點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為.

（1）證明：點(diǎn)恒在橢圓上.

（2）設(shè)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)和有相同的公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax2+blnx，曲線y=f（x）過P（1,0），且在P點(diǎn)處的切斜線率為2.

（I）求a，b的值；

（II）證明：f(x)≤2x-2。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，設(shè)，證明：，，使.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過F的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn).當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若直線AB與拋物線的準(zhǔn)線l相交于點(diǎn)M，在拋物線C上是否存在點(diǎn)P，使得直線PA，PM，PB的斜率成等差數(shù)列？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案