Question

把正偶數(shù)列{2n}中的數(shù)按“上小下大，左小右大”的原則排成如圖“三角形”所示的數(shù)表，設(shè)a_ij（i，j∈N^*）是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)．
（1）若a_mn=2010，求m，n的值．
（2）已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)為f^-1（x）=n+125ⁿ•x³（x＞0，n∈N^*），若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為b_n．①求數(shù)列{f（b_n）}的前n項(xiàng)和S_n；②令的前n項(xiàng)之積為T_n（n∈N^*），求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）數(shù)表中是連續(xù)的偶數(shù)，a_mn是第m行的第n個(gè)數(shù)，n≤m，所以先計(jì)算前m-1行共有1+2+3+…+m-1=個(gè)數(shù)，再加上n等于1005，求出m，n的值．
（2）①先根據(jù)f（x）的反函數(shù)解析式求出f（x）的解析式，利用等差數(shù)列的求和公式，求出前n-1行共有多少個(gè)偶數(shù)，找到第n行的第一個(gè)數(shù)，再用等差數(shù)列的求和公式求出b_n，代入f（x），利用錯(cuò)位相減求和即可．
②化簡T_n，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明成立即可．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的步驟，先驗(yàn)證n取第一個(gè)數(shù)時(shí)命題成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，再證明n=k+1時(shí)命題也成立．
解答：解：（1）因2010是第1005個(gè)偶數(shù)，而前m-1行共有1+2+…+n=個(gè)偶數(shù)，又∵n≤m，故2010位于第45行第15個(gè)偶數(shù)，故m=45，n=15
（2）①由y=n+125ⁿ•x³得：x=，f（x）=設(shè)T表示前n個(gè)偶數(shù)和，則
b_n=-=-=n³+n
故f（b_n）=，S_n=+++…+，
S_n=++…+
S_n=+++…++，
∴S_n=
②易知==
∴T_n=（n!）
要證只需證明=＜，
又只需證明=（1-）（1-）…（1-）＞，
下先用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1-）（1-）…（1-）≥1-（++…+）
（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，1-=≥1-故n=1成立；
（Ⅱ）假設(shè)n=k時(shí)，=（1-）（1-）…（1-）＞1-（++…+），
則n=k+1時(shí)，=（1-）（1-）…（1-）（1-）＞1-（++…+）（1-），
=1-（++…++）+（++…+）＞1-（++…++），
故n=k+1也成立．
綜合（Ⅰ），（Ⅱ）知：：（1-）（1-）…（1-）≥1-（++…+）=1-
=
故原不等式成立．
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)與數(shù)列綜合應(yīng)用來求數(shù)列的和，以及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立，注意解題步驟的書寫．