Question

對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：
①焦點在y軸上；
②通徑為8；
③過焦點的直線與拋物線交于兩點的橫坐標之積為4；
④拋物線上橫坐標為2的點到焦點的距離為6；
能滿足拋物線y²=8x的條件是

②③

 （填序號）

Answer 1

分析：由拋物線的定義與標準方程，分別設(shè)出各種情況下拋物線的標準方程y²=2px，根據(jù)題意建立關(guān)系式并解之，得p的值，從而可得拋物線的方程．由此方法，可得②③是符合題意的答案，而①④不符合題意．

解答：解：對于①，當拋物線焦點在y軸上時，方程形式是x²=2py或x²=-2py的形式，不可能是y²=8x，故①不正確；
對于②，過拋物線y²=2px的焦點F（

p

2

，0）且與x軸垂直的直線，交拋物線于A（

p

2

，y₁），B（

p

2

，y₂）
由y²=2p×

p

2

=p²，得|y₁-y₂|=2p=8，即拋物線的通徑恰好為8，故拋物線y²=8x，符合題意，②正確；
對于③，設(shè)過拋物線y²=2px的焦點F（

p

2

，0）的直線方程為y=k（x-

p

2

）
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

消去y，得k²x²-（2+k²）px+

1

4

k²p²=0
設(shè)交點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得x₁•x₂=

1

4

p²=4，解之得p=4
∴2p=8，得拋物線方程為y²=8x，符合題意，③正確；
對于④，設(shè)拋物線方程為y²=2px，點P（2，y₀）到焦點有距離等于6，
根據(jù)拋物線的定義得2+

p

2

=6，得p=8，得拋物線方程為y²=16x，不符合題意，故④不正確．
故答案為：②③

點評：本題給出幾個條件，求能使拋物線方程為y²=8x的條件，著重考查了拋物線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與拋物線的關(guān)系等知識，屬于中檔題．