Question

求證：四面體若有兩組對棱互相垂直，則第三組對棱也互相垂直．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　先寫已知、求證，要證相對棱垂直，即異面垂直，一般先證線面垂直，或用三垂線定理(或逆定理)，故作VO⊥平面ABC是關(guān)鍵． 　　已知：VA⊥BC，VB⊥AC，求證：VC⊥AB． 　　解答　　作VO⊥平面ABC于O，連結(jié)AO，BO，CO． 　　∵VO⊥平面ABC．∴AO，BO，CO分別為VA，VB，VC在平面ABC上的射影， 　　又∵VA⊥BC，VB⊥AC，∴AO⊥BC，BO⊥AC， 　　∴O為△ABC的垂心，從而OC⊥AB， 　　根據(jù)三垂線定理，VC⊥AB． 　　評析　　由本題知，若三棱錐有兩組對棱互相垂直，則頂點在底面上的射影為底面三角形的垂心，實際上，此四面體任一頂點在它對面上的射影均為該面三角形的垂心．類似的結(jié)論還有：①若三條側(cè)棱相等，則頂點在底面上的射影為底面三角形的外心；②若頂點到底面三角形三條邊的距離相等，則頂點在底面上的射影為底面三角形的內(nèi)心或旁心；③若側(cè)棱與底面所成的角相等，則頂點在底面上的射影為底面三角形的外心；④若側(cè)面與底面所成的角相等，則頂點在底面上的射影為底面三角形的內(nèi)心．