Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA=PD，PA⊥平面PDC，E為棱PD的中點．
（Ⅰ）求證：PB∥平面EAC；
（Ⅱ）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）連接BD與AC相交于點O，連接EO．
∵四邊形ABCD為正方形，∴O為BD中點．
∵E為棱PD中點．
∴EO是△PBD的中位線，可得PB∥EO． …（3分）
∵PB?平面EAC，EO?平面EAC，
∴直線PB∥平面EAC． …（4分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面PDC，CD?平面PDC
∴PA⊥CD． …（5分）
∵正方形ABCD中，AD⊥CD，PA、AD是平面PAD內(nèi)的相交直線
∴CD⊥平面PAD． …（7分）
∵CD?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD． …（8分）
（Ⅲ）取AD中點M，BC中點N，連接PM，MN．
∵正方形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，∴MN∥CD．
由（Ⅱ）可得MN⊥平面PAD．
∵PA=PD，M是AD中點，∴PM⊥AD．
因此，MP、MA、MN兩兩垂直，
分別以MA、MN、MP為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標系 …（9分）
設(shè)AB=4，則可得A（2，0，0），B（2，4，0），C（-2，4，0），
D（-2，0，0），P（0，0，2），E（-1，0，1）．
所以 =（3，0，-1），=（-4，4，0）．
設(shè)平面EAC的法向量為=（x，y，z），則有
，可得
取x=1，得y=1，z=3，所以=（1，1，3）． …（11分）
由題意，易得平面ABCD的法向量為=（0，0，1）． …（12分）
∴cos＜，＞==． …（13分）
結(jié)合圖形，可得二面角E-AC-B的平面角是鈍角，
因此，二面角E-AC-B的余弦值為-． …（14分）
分析：（Ⅰ）連接BD與AC相交于點O，連接EO．可得EO是△PBD的中位線，所以PB∥EO，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證出PB∥平面EAC；
（Ⅱ）由PA⊥平面PDC，得到PA⊥CD，結(jié)合正方形中AD⊥CD，證出CD⊥平面PAD．根據(jù)平面ABCD經(jīng)過平面PAD的垂線，即可得到平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅲ）取AD中點M，BC中點N，連接PM，MN．根據(jù)（II）證出的位置關(guān)系，可得MP、MA、MN兩兩垂直，因此分別以MA、MN、MP為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標系．設(shè)AB=4，可得A、B、C、D、P、E各點的坐標，利用垂直向量數(shù)量積為0的方法，列方程組解出平面EAC的法向量為=（1，1，3）．再根據(jù)平面ABCD的法向量為=（0，0，1），利用向量的夾角公式算出與夾角余弦之值，即可得到二面角E-AC-B的余弦值．
點評：本題給出四棱錐一個側(cè)面為等腰直角三角形且該側(cè)面與底面正方形平面互相垂直，求證線面平行、面面垂直并求二面角的大�。�著重考查了直線與平面平行的判定、線面垂直與面面垂直的判斷與性質(zhì)和二面角大小的求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．