Question

【題目】已知f(x)＝x2－a|x－1|－1，a∈R．

（1）判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性；

（2）若f(x)≥0對x∈[1，＋∞)恒成立，求a的取值范圍；

（3）寫出f(x)在[－2，2]上的最大值g(a)．(不需要解答過程)

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）(－∞，2]（3）

【解析】

（1）驗證即可；

（2）對恒成立，則對恒成立，分類討論，即可求的取值范圍；

（3）分類討論，去掉絕對值符號，即可寫出在，上的最大值．

解：（1）當a＝0時，f(x)＝x2－1，f(x)為偶函數(shù)，

任意x∈R，f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．

當時，所以非奇非偶.

（2）當x∈[1，＋∞)時，f(x)＝x2－a(x－1)－1＝(x－1)(x＋1－a)．

x＝1時，由f(x)≥0成立，得a∈R；

x＞1時，由f(x)≥0恒成立，得(x－1)(x＋1－a)≥0恒成立，

即x＋1－a≥0恒成立，所以a≤x＋1對x＞1恒成立，

所以a≤2．

綜上，a的取值范圍是(－∞，2]．

（3）f(x)＝x2－a|x－1|－1＝

因為函數(shù)f(x)＝x2－ax＋a－1在[1，2]上的最大值＝max{f(1)，f(2)}；

f(x)＝x2＋ax－a－1在[－2，1]上的最大值＝max{f(1)，f(－2)}．

所以g(a)＝max{f(－2)，f(1)，f(2)}＝max{3－3a，0，3－a}

＝