Question

設為數(shù)列的前項和，對任意的，都有（為正常數(shù)）.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列的前項和.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

試題分析：（1）利用與之間的關系，對分兩種情況討論，時，求的值，時，利用得出與之間的關系，進而利用定義證明數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）在（1）的條件下求出的值，然后根據(jù)數(shù)列的遞推公式的結構利用倒數(shù)法得到數(shù)列為等差數(shù)列，通過求處等差數(shù)列的通項公式求出數(shù)列的通項公式；（3）利用（2）中數(shù)列的通項公式，并根據(jù)數(shù)列的通項公式的結構選擇錯位相減法求數(shù)列的前項和.
試題解析：（1）證明：當時，，解得．       1分
當時，．即．       2分
又為常數(shù)，且，∴．         3分
∴數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列．        4分
（2） 5分 ∵，∴，即． 7分
∴是首項為，公差為1的等差數(shù)列．               8分
∴，即．           9分
（3）由（2）知，則．
所以，                                10分
即，       ①  11分
則，      ②   12分
②－①得，        13分
故．        14分