Question

設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a_n是S_n和2的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)1≤i≤j≤n（i，j，n均為正整數(shù)）時(shí)，求a_i和a_j的所有可能的乘積a_ia_j之和T_n；
（3）設(shè)，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n是S_n和2的等差中項(xiàng)，知S_n+2=2a_n，由此入手能求出a_n．
（2）由a_i和a_j的所有可能乘積a_i•a_j=2^i+j（1≤i≤j≤n）可構(gòu)成下表：2¹⁺¹，2¹⁺²，2¹⁺³，…，2^1+（n-1），2¹⁺ⁿ2²⁺²，2²⁺³，…，2^2+（n-1），2²⁺ⁿ2³⁺³，…，2^3+（n-1），2³⁺ⁿ，…2ⁿ⁺ⁿ…．構(gòu)造如下n行n列的數(shù)表：2¹⁺¹，2¹⁺²，2¹⁺³，…，2^1+（n-1），2¹⁺ⁿ2²⁺¹，2²⁺²，2²⁺³，…，2^2+（n-1），2²⁺ⁿ2³⁺¹，2³⁺²，2³⁺³，…，2^3+（n-1），2³⁺ⁿ，…2ⁿ⁺¹，2ⁿ⁺²，2ⁿ⁺³，…，2^n+（n-1），2ⁿ⁺ⁿ，求a_i和a_j的所有可能的乘積a_ia_j之和T_n．
（3），，=．由此能夠證明．
解答：解：（1）∵a_n是S_n和2的等差中項(xiàng)，
∴S_n+2=2a_n，①…（1分）
當(dāng)n=1時(shí)，S₁+2=2a₁，解得a₁=2．
當(dāng)n∈N^*，n≥2時(shí)，S_n-1+2=2a_n-1（n∈N^*，n≥2）．②
①-②得  S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n∈N^*，n≥2），
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴（n∈N^*，n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）．…（5分）
（2）由a_i和a_j的所有可能乘積a_i•a_j=2^i+j（1≤i≤j≤n）可構(gòu)成下表：2¹⁺¹，2¹⁺²，2¹⁺³，…，2^1+（n-1），2¹⁺ⁿ2²⁺²，2²⁺³，…，2^2+（n-1），2²⁺ⁿ2³⁺³，…，2^3+（n-1），2³⁺ⁿ
…2ⁿ⁺ⁿ…（7分）
構(gòu)造如下n行n列的數(shù)表：2¹⁺¹，2¹⁺²，2¹⁺³，…，2^1+（n-1），2¹⁺ⁿ2²⁺¹，2²⁺²，2²⁺³，…，2^2+（n-1），2²⁺ⁿ2³⁺¹，2³⁺²，2³⁺³，…，2^3+（n-1），2³⁺ⁿ
…2ⁿ⁺¹，2ⁿ⁺²，2ⁿ⁺³，…，2^n+（n-1），2ⁿ⁺ⁿ
設(shè)上表第一行的和為T，則．
于是 2T_n=T（1+2+2²+…+2^n-1）+（2²+2⁴+…+2²ⁿ）==．
∴．…（10分）
（3）∵，
∴，…（12分）
∴==．
∵2ⁿ⁺¹-1≥3，
∴．
即．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式的證明、數(shù)列的求和等知識(shí)，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力和化歸轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想．