Question

已知橢圓C過點(diǎn)P（1，），兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，將P的坐標(biāo)代入橢圓的方程得到關(guān)于a，b的等式，再根據(jù)橢圓的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于a，b，c的另一個(gè)等式，解方程組求出a，b的值即得到橢圓的方程．
（2）設(shè)出直線AB的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的二次方程，利用韋達(dá)定理表示出中點(diǎn)的坐標(biāo)，消去參數(shù)m得到中點(diǎn)的軌跡方程．
解答：解：（1）由題意可知，c=1，a²=b²+1
設(shè)橢圓的方程為（a＞b＞0）…即
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以，解得b²=3，
所以橢圓方程為  
（2）解：設(shè)過點(diǎn)F₁的直線方程為：x=my-1
代入，得：
整理得（3m²+4）y²-6my-9=0
同理可得：
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M（x，y），則
整理得：3x²+4y²+3x=0
當(dāng)y=0時(shí)，易知線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，滿足上述方程．
綜上所述，所求的方程為：3x²+4y²+3x=0
點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程問題，一般利用待定系數(shù)法，注意橢圓中的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系與雙曲線中的三個(gè)參數(shù)關(guān)系的區(qū)別；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理找突破口．