Question

已知P是橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1上的動點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是其左右焦點，O是坐標原點，則

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

的取值范圍是

[-

2

，

2

]

．

Answer 1

分析：設P的坐標為（m，n），利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義算出|PF₂|=e|PQ|=

2

2

（4-m）=2

2

-

2

2

m，同理可得|PF₁|=2

2

+

2

2

m，結合|PO|=

m2+n2

得

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

=

2 m

m2+n2

．再根據(jù)橢圓方程將其化簡為關于m的函數(shù)，利用橢圓上點的橫坐標的范圍加以計算，可得所求

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

的取值范圍．

解答：解：設P的坐標為（m，n）
∵橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1中，a²=8，b²=4，
∴c=

a2-b2

=2，得橢圓的準線方程為x=±

a2

c

，即x=±4
作出橢圓的右準線，設P在右準線上的射影為Q，連結PQ，
根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得

|PF2|

|PQ|

=e，
∴|PF₂|=e|PQ|=

2

2

（4-m）=2

2

-

2

2

m，同理可得|PF₁|=2

2

+

2

2

m，
∵|PO|=

m2+n2

，
∴

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

=

(2 2 + 2 2 m)-(2 2 - 2 2 m)

m2+n2

=

2 m

m2+n2

∵點P（m，n）在橢圓

x2

8

+

y2

4

=1上，得

m2

8

+

n2

4

=1，
∴n2=4(1-

m2

8

)=4-

m2

2

，
由此可得

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

=

2 m

m2+(4- m2 2 )

，得（

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

）²=

4m2

8+m2

，
∵m²∈[0，a²]即m²∈[0，8]，得

4m2

8+m2

∈[0，2]，
∴

| PF1 |-| PF2 |

| PO |

∈[-

2

，

2

]．
故答案為：[-

2

，

2

]

點評：本題給出橢圓，求橢圓上一點與兩個焦點距離之差與該點到原點的距離之比的取值范圍．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、圓錐曲線的統(tǒng)一定義和兩點間的距離公式等知識，屬于中檔題．