Question

設f（x）=lg（x+

x2+1

）+sinx，當0≤θ≤

π

2

時，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實數m的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，1）
• B、（-∞，0）
• C、（-∞，

  1

  2

  ）
• D、（0，1）

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：根據條件判斷函數的奇偶性和單調性，利用函數奇偶性和單調性之間的關系將不等式恒成立進行轉化，即可得到結論．

解答：解：∵f（x）=lg（x+

x2+1

）+sinx，
∴f（-x）=lg（-x+

x2+1

）-sinx═lg（

1

x+ x2+1

）-sinx=-（lg（x+

x2+1

）+sinx）=-f（x），
即f（x）是奇函數，且為增函數，
則不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，等價為f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1）恒成立，
即f（msinθ）＞f（m-1）
即msinθ＞m-1
即m＜

1

1-sinθ

在0≤θ≤

π

2

時恒成立
∵0≤θ≤

π

2

時，1-sinθ的最大值為1，故

1

1-sinθ

的最小值為1
故m＜1
即實數m的取值范圍是（-∞，1），
故選：A

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性與函數的單調性及恒成立問題，是函數圖象和性質的綜合應用，難度為中檔．