Question

已知一個(gè)四面體的每個(gè)面都是有兩條邊長(zhǎng)為3，一條邊長(zhǎng)為2的三角形，則該四面體的外接球的表面積為（　　）

• A、9π
• B、π
• C、11π
• D、

  11

  4

  π

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積,球內(nèi)接多面體

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：考慮一個(gè)長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，其四個(gè)頂點(diǎn)就構(gòu)成一個(gè)四面體AB₁CD₁ 恰好就是每個(gè)三角形邊長(zhǎng)為3，3，2，則四面體的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，進(jìn)而計(jì)算出其外接球的直徑，可得外接球的表面積．

解答：解：設(shè)長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的長(zhǎng)寬高分別是a，b，c，
其四個(gè)頂點(diǎn)就構(gòu)成一個(gè)四面體AB₁CD₁ 滿足每個(gè)面的邊長(zhǎng)為3，3，2，

則a²+b²=9，b²+c²=9，c²+a²=4，
則a²+b²+c²=11，
即長(zhǎng)方體的外接球直徑2R=

11

，
故外接球的表面積S=4πR²=11π，
故選C

點(diǎn)評(píng)：在求一個(gè)幾何體的外接球表面積（或體積）時(shí)，關(guān)鍵是求出外接球的半徑，我們通常有如下辦法：①構(gòu)造三角形，解三角形求出R；②找出幾何體上到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，即球心，進(jìn)而求出R；③將幾何體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，其對(duì)角線即為球的直徑，進(jìn)而求出R．