Question

將一段長為100cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，問如何截可使正方形與圓面積之和最�。�

Answer 1

分析：設(shè)出彎成圓的一段長，求出正方形與圓面積之和，利用導(dǎo)數(shù)，即可求得結(jié)論．

解答：解：設(shè)彎成圓的一段長為x，另一段長為100-x，記正方形與圓的面積之和為S，則
S=π（

x

2π

）²+（

100-x

4

）²（0＜x＜100）．
∴S′=

x

2π

-

1

8

（100-x）．
令S′=0，則x=

100π

π+4

（cm）．
由于在（0，100）內(nèi)函數(shù)只有一個導(dǎo)數(shù)為零的點，且函數(shù)在（0，

100π

π+4

）內(nèi)單調(diào)遞減，在（

100π

π+4

，100）單調(diào)遞增
∴問題中面積之和的最小值顯然存在，
故當x=

100π

π+4

cm時，即彎成圓的一段長為

100π

π+4

cm時，面積之和最小．

點評：本題考查面積的求法，考查導(dǎo)數(shù)知識，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，屬于中檔題．