Question

已知f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（I）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（II）若關于x的方程f（x）=0在（0，2）上有兩個解x₁，x₂，求k的取值范圍，并證明

1

x1

+

1

x2

＜4．

Answer 1

分析：（1）當k=2時，方程是含有絕對值的方程，對絕對值內的值進行分類討論去掉絕對值后解之；
（2）先將含有絕對值的函數(shù)轉化為一元一次函數(shù)和二元一次函數(shù)的分段函數(shù)的形式，再利用一元一次函數(shù)與二元
一次函數(shù)的單調性加以解決．

解答：解：（Ⅰ）解：（1）當k=2時，f（x）=|x²-1|+x²+kx
①當x²-1≥0時，即x≥1或x≤-1時，方程化為2x²+2x-1=0
解得x=

-1± 3

2

，因為0＜

-1+ 3

2

＜1，故舍去，所以x=

-1- 3

2

．
②當x²-1＜0時，-1＜x＜1時，方程化為2x+1=0
解得x=-

1

2

由①②得當k=2時，方程f（x）=0的解所以x=

-1- 3

2

或x=-

1

2

．
（II）解：不妨設0＜x₁＜x₂＜2，
因為f(x)=

2x2+kx-1，|x|＞1 kx+1，|x|≤1

所以f（x）在（0，1]是單調函數(shù)，故f（x）=0在（0，1]上至多一個解，
若1＜x₁＜x₂＜2，則x₁x₂=-

1

2

＜0，故不符題意，因此0＜x₁≤1＜x₂＜2．
由f（x₁）=0得k=-

1

x1

，所以k≤-1；
由f（x₂）=0得k=

1

x2

-2x2，所以-

7

2

＜k＜-1；
故當-

7

2

＜k＜-1時，方程f（x）=0在（0，2）上有兩個解．
當0＜x₁≤1＜x₂＜2時，k=-

1

x1

，2x₂²+kx₂-1=0
消去k得2x₁x₂²-x₁-x₂=0
即

1

x1

+

1

x2

=2x2，因為x₂＜2，所以

1

x1

+

1

x2

＜4．

點評：本題主要考查的高考考點：函數(shù)的基本性質、方程與函數(shù)的關系等基礎知識；易錯點：解析問題的能力較差，分類討論的問題考慮不全面?zhèn)淇继崾荆罕绢}還考查函數(shù)的基本性質、方程與函數(shù)的關系等基礎知識，以及綜合運用所學知識、分類討論等思想方法解析和解決問題的能力．需要考生有較扎實的理論知識及較強的解析問題的能力，同時要具備良好的運算能力．