Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1+

2

， S3=9+3

2

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n與前n項(xiàng)和S_n；
（2）設(shè)bn=

Sn

n

(n∈N*)，數(shù)列{b_n}中是否存在不同的三項(xiàng)能成為等比數(shù)列．若存在則求出這三項(xiàng)，若不存在請(qǐng)證明．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：d=2，進(jìn)而得到an=2n-1+

2

，Sn=n(n+

2

)．
（2）由（1）得bn=

Sn

n

=n+

2

．假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在三項(xiàng)b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）成等比數(shù)列，
則b_q²=b_pb_r，結(jié)合題意可得p=r，與p≠r矛盾．

解答：解：（1）由已知得

a1= 2 +1 3a1+3d=9+3 2

∴d=2
故an=2n-1+

2

，Sn=n(n+

2

)
（2）由（1）得bn=

Sn

n

=n+

2

．
假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在三項(xiàng)b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）成等比數(shù)列，
則b_q²=b_pb_r，
即(q+

2

)2=(p+

2

)(r+

2

)，
∴(q2-pr)+(2q-p-r)

2

=0
∵p，q，r∈N^*，∴

q2-pr=0 2q-p-r=0

∴(

p+r

2

)2=pr，(p-r)2=0，∴p=r
與p≠r矛盾．
所以數(shù)列{b_n}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求通項(xiàng)公式與求法和，解題時(shí)要注意反證推理的合理運(yùn)用．