Question

（文科做）已知點(diǎn)A₁（2，0），A₂（1，t），A₃（0，b），A₄（-1，t），A₅（-2，0），其中t＞0，b為正常數(shù)．
（1）半徑為2的圓C₁經(jīng)過(guò)A_i（i=1，2，…，5）這五個(gè)點(diǎn)，求b和t的值；
（2）橢圓C₂以F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4．若A_iF₁+A_iF₂=4（i=1，2，…，5），試用b表示t；
（3）在（2）中的橢圓C₂中，兩線段長(zhǎng)的差A(yù)₁F₁-A₁F₂，A₂F₁-A₂F₂，…，A₅F₁-A₅F₂構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{a_n}，求證：對(duì)n=1，2，3，4都有a_n+1＜a_n．（本小題解答中用到了橢圓的第一定義與焦半徑公式，新教材實(shí)驗(yàn)區(qū)的學(xué)生可不解第三小題，請(qǐng)學(xué)習(xí)時(shí)注意）

Answer 1

分析：（1）注意到A₁（2，0），A₅（-2，0），且半徑為2的圓C₁經(jīng)過(guò)A_i，故線段A₁A₅就是所求圓的直徑，O為圓心，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可
（2）橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，即a=2，故可設(shè)橢圓方程為

x2

4

+

y2

b2

=1，因?yàn)锳_iF₁+A_iF₂=4，由橢圓定義知點(diǎn)A₂（1，t）在橢圓上，代入橢圓方程即可用b表示t；
（3）利用焦半徑公式，A_iF₁=ex_i+a，再利用橢圓定義，即可得A_iF₁-A_iF₂=2A_iF₁-2a=2ex_i，可見數(shù)列{a_n}的項(xiàng)的大小只與點(diǎn)A_i的橫坐標(biāo)有關(guān)，進(jìn)而易證a_n+1＜a_n．

解答：解：（1）∵A₁A₅=4，則A₁A₅為⊙C₁的直徑，∴圓心為A₁，A₅的中點(diǎn)（0，0）
∴⊙C₁的方程是x²+y²=4，
∵A₂（1，t），A₃（0，b）在圓上，
∴b=2，t=

3

；
（2）∵橢圓C₂以F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，
∴橢圓C₂的方程是

x2

4

+

y2

b2

=1，將A₂（1，t）代入，
得

12

4

+

t2

b2

=1，得t=

3

2

b；
（3）設(shè)A_i的坐標(biāo)是（x_i，y_i），∵橢圓C₂的左準(zhǔn)線為x=-

a2

c

，
∴

AiF1

xi+ a2 c

=e，則AiF1=e(xi+

a2

c

)=exi+a，（其中e=

c

a

為橢圓的離心率）
A_iF₁-A_iF₂=2A_iF₁-2a=2ex_i
由于{x_i}遞減，則對(duì)n=1，2，3，4都有a_n+1＜a_n．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的定義，橢圓的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)及其應(yīng)用，本題解答中用到了橢圓的第二定義轉(zhuǎn)化AiF1=e(xi+

a2

c

)=exi+a，新教材實(shí)驗(yàn)區(qū)的學(xué)生可不解第三小題，請(qǐng)學(xué)習(xí)時(shí)注意