【題目】設(shè)數(shù)列滿足|an﹣ |≤1，n∈N* ．
（1）求證：|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）
（2）若|an|≤（ ）n ， n∈N* ， 證明：|an|≤2，n∈N* ．

【答案】
（1）

解：∵|an﹣ |≤1，∴|an|﹣ |an+1|≤1，

∴ ﹣ ≤ ，n∈N*，

∴ =（ ）+（ ）+…+（ ）≤ + + +…+ = =1﹣ ＜1．

∴|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）


（2）

解：任取n∈N*，由（1）知，對(duì)于任意m＞n，

﹣ =（ ）+（ ）+…+（ ）

≤ + +…+ = ＜ ．

∴|an|＜（ + ）2n≤[ + （ ）m]2n=2+（ ）m2n．①

由m的任意性可知|an|≤2．

否則，存在n0∈N*，使得| |＞2，

取正整數(shù)m0＞ 且m0＞n0，則

＜ （ ） =| |﹣2，與①式矛盾．

綜上，對(duì)于任意n∈N*，都有|an|≤2


【解析】（1）使用三角不等式得出|an|﹣ |an+1|≤1，變形得 ﹣ ≤ ，使用累加法可求得 ＜1，即結(jié)論成立；（2）利用（1）的結(jié)論得出 ﹣ ＜ ，進(jìn)而得出|an|＜2+（ ）m2n ， 利用m的任意性可證|an|≤2．本題考查了不等式的應(yīng)用與證明，等比數(shù)列的求和公式，放縮法證明不等式，難度較大．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=（ex+1）（ax+2a﹣2），若存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）﹣2＜0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（0，1）
B.（0， ）
C.（﹣∞，1）
D.（﹣∞， ）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解男性家長(zhǎng)和女性家長(zhǎng)對(duì)高中學(xué)生成人禮儀式的接受程度，某中學(xué)團(tuán)委以問卷形式調(diào)查了位家長(zhǎng)，得到如下統(tǒng)計(jì)表：

男性家長(zhǎng)

女性家長(zhǎng)

合計(jì)

贊成

無所謂

合計(jì)

（1）據(jù)此樣本，能否有的把握認(rèn)為“接受程度”與家長(zhǎng)性別有關(guān)？說明理由；

（2）學(xué)校決定從男性家長(zhǎng)中按分層抽樣方法選出人參加今年的高中學(xué)生成人禮儀式，并從中選人交流發(fā)言，求發(fā)言人中至多一人持“贊成”態(tài)度的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+bx（a，b∈R）．

（Ⅰ）當(dāng)b=-1時(shí)，函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

（Ⅱ）當(dāng)b=1時(shí)，

①若對(duì)于任意x∈[1，3]，恒有f（x）≤2x2，求a的取值范圍；

②若a≥2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值g（a）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a≥3，函數(shù)F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）=
（1）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范圍
（2）（1）求F（x）的最小值m（a）
（3）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)f（x）=x﹣ sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（　�。�
A.[﹣1，1]
B.[﹣1， ]
C.[﹣ ， ]
D.[﹣1，﹣ ]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的值域；

（2）求不等式的解集；

（3）若對(duì)于恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】圓x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圓心到直線ax+y﹣1=0的距離為1，則a=（　�。�
A.﹣
B.﹣
C.
D.2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝(－1)n(2n－1)(n∈N*)，Sn為其前n項(xiàng)和．

(1)求S1，S2，S3，S4的值；

(2)猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

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同步練習(xí)冊(cè)答案