Question

定義：如果數(shù)列的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱為“三角形”數(shù)列．對(duì)于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)使得仍為一個(gè)“三角形”數(shù)列，則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，.

（Ⅰ）已知是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，若是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，求k的取值范圍；

（Ⅱ）已知數(shù)列的首項(xiàng)為2010，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，證明是“三角形”數(shù)列；

（Ⅲ）根據(jù)“保三角形函數(shù)”的定義，對(duì)函數(shù)，，和數(shù)列1，，，（）提出一個(gè)正確的命題，并說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），（Ⅱ）先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)“三角形”數(shù)列的定義證明即可，（3）函數(shù)，是數(shù)列1，1+d，1+2d 的“保三角形函數(shù)”，必須滿足三個(gè)條件：①1，1+d，1+2d是三角形數(shù)列，所以，即．②數(shù)列中的各項(xiàng)必須在定義域內(nèi)，即.

③是三角形數(shù)列.由于，是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，解得．

【解析】

試題分析：（1）顯然，對(duì)任意正整數(shù)都成立，

即是三角形數(shù)列．                              2分

因?yàn)閗>1，顯然有，由得，解得.

所以當(dāng)時(shí)，是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”.   5分

（2）由得,兩式相減得

所以，，

經(jīng)檢驗(yàn)，此通項(xiàng)公式滿足                7分

顯然，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081912573608064422/SYS201308191259037264184341_DA.files/image026.png">，

所以 是“三角形”數(shù)列．                         10分

（3）探究過(guò)程：　函數(shù)，是數(shù)列1，1+d，1+2d 的“保三角形函數(shù)”，必須滿足三個(gè)條件：

①1，1+d，1+2d是三角形數(shù)列，所以，即．

②數(shù)列中的各項(xiàng)必須在定義域內(nèi)，即.

③是三角形數(shù)列.

由于，是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，解得．

考點(diǎn)：本題考查了數(shù)列的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：本題是在新定義下對(duì)數(shù)列的綜合考查．關(guān)于新定義的題型，在作題過(guò)程中一定要理解定義，并會(huì)用定義來(lái)解題．