【題目】已知長方體AC1中,AD=AB=2,AA1=1,E為D1C1的中點,如圖所示.
(Ⅰ)在所給圖中畫出平面ABD1與平面B1EC的交線(不必說明理由);
(Ⅱ)證明:BD1∥平面B1EC;
(Ⅲ)求平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的大。

【答案】解:(Ⅰ)連接BC1交B1C于M,則直線ME即為平面ABD1與平面B1EC的
交線,如圖所示;

(Ⅱ)由(Ⅰ)因為在長方體AC1中,所以M為BC1的中點,又E為D1C1的中點
所以在△D1C1B中EM是中位線,所以EM∥BD1 ,
又EM平面B1EC,BD1平面B1EC,
所以BD1∥平面B1EC;)
(Ⅲ)因為在長方體AC1中,所以AD1∥BC1 ,
平面ABD1即是平面ABC1D1 , 過平面B1EC上
點B1作BC1的垂線于F,如平面圖①,

因為在長方體AC1中,AB⊥平面B1BCC1 , B1F平面B1BCC1 , 所以B1F⊥AB,BC1∩AB=B,
所以B1F⊥平面ABD1于F.
過點F作直線EM的垂線于N,如平面圖②,

連接B1N,由三垂線定理可知,B1N⊥EM.由二面角的平面角定義可知,在Rt△B1FN中,∠B1NF即是平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的平面角.
因長方體AC1中,AD=AB=2,AA1=1,在平面圖①中, ,
, ,C1E=1,在平面圖②中,由△EMC1相似△FMN1可知 = =
所以tan∠B1NF= = ,
所以平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的大小為arctan2
空間向量解法:
(Ⅰ)見上述.
(Ⅱ)因為在長方體AC1中,所以DA,DC,DD1兩兩垂直,于是以DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸,以D為坐標原點,建立空間直角坐標系,如圖所示,
因為AD=AB=2,AA1=1,所以D(0,0,0),D1(0,0,1),B(2,2,0),B1(2,2,1),C(0,2,0),E(0,1,1).所以 , ,…(6分)
令平面B1EC的一個法向量為
所以 , ,從而有,

,即 ,不妨令x=﹣1,
得到平面B1EC的一個法向量為
,所以 ,又因為BD1平面B1EC,
所以BD1∥平面B1EC.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 ,令平面ABD1的一個法向量為 ,
所以 ,從而有, ,即 ,不妨令x=1,
得到平面ABD1的一個法向量為
因為 =
所以平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的大小為
【解析】(Ⅰ)連接BC1交B1C于M即可得到平面ABD1與平面B1EC的交線;(Ⅱ)根據(jù)線面平行的判定定理即可證明:BD1∥平面B1EC;(Ⅲ)方法1,根據(jù)幾何法作出二面角的平面角即可求平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的大小.方法2,建立坐標系,求出平面的法向量,利用向量法進行求解.
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本,需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.

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抽取次序

1

2

3

4

5

6

7

8

零件尺寸

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

抽取次序

9

10

11

12

13

14

15

16

零件尺寸

10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

經(jīng)計算得 , ,其中為抽取的第個零件的尺寸,

(1)求 的相關系數(shù),并回答是否可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小(若,則可以認為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變。

(2)一天內抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.

(。⿵倪@一天抽檢的結果看,是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查?

(ⅱ)在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值,估計這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標準差.(精確到0.01)

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