Question

（2012•房山區(qū)一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長為4

2

，點P（2，1）在橢圓上，平行于OP（O為坐標原點）的直線l交橢圓于A，B兩點，l在y軸上的截距為m．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）設直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，那么k₁+k₂是否為定值，若是求出該定值，若不是請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設橢圓方程為

x2

8

+

y2

b2

=1，將點P（2，1）代入，即可求得橢圓方程；
（II）l的方程代入橢圓方程，可得一元二次方程，利用直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，即可確定m的取值范圍；
（III）利用韋達定理x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，及k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，可得k₁+k₂=0．

解答：解：（I）由已知可知a=2

2

…（1分）
設橢圓方程為

x2

8

+

y2

b2

=1，將點P（2，1）代入解得b²=2…（3分）
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

2

=1                            …（4分）
（II）∵直線l平行于OP，且在y軸上的截距為m，又kop=

1

2

∴l(xiāng)的方程為：y=

1

2

x+m（m≠0）…（6分）
代入橢圓方程，消元可得x²+2mx+2m²-4=0  ①…（7分）
∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，解得-2＜m＜2，且m≠0．
所以m的取值范圍是（-2，0）∪（0，2）．…（9分）
（III）k₁+k₂=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由①得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4．…（10分）
∵k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

∴k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0
∴k₁+k₂=0…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．