Question

有6本不同的書.

(1)分給甲、乙、丙三人，如果每人得2本有多少種方法？

(2)分給甲、乙、丙三人，如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少種分法？

(3)分給甲、乙、丙三人，如果1人得1本，1人得2本，1人得3本，有多少種分法？

(4)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種分法？

(5)平均分成三堆，有多少種分法？

(6)分成四堆，其中2堆各1本，2堆各2本，有多少種分法？

(7)分給4人，其中2人各1本，2人各2本，有多少種分法？

Answer 1

解析:(1)甲先取2本有種方法，乙再從余下的4本書中取2本有種方法，丙取最后2本書有種方法，因此總共有··=90種方法.

(2)同(1)有··=60種分法.

(3)三人中沒有指明誰是甲、乙、丙，而三人中誰是甲、乙、丙可有種方法，所以共有···=360種分法.

(4)同(2)有··=60種分法.

(5)同(2)有··種分法，下面對其正確性進(jìn)行研究：設(shè)有a、b、c、d、e、f六本書，則中有可能為a、b,可能為c、d,可能為e、f,即有一分堆方法：a、b,c、d,e、f；同時(shí)中也有可能為c、d,中可能為e、f,可能為a、b,顯然這種分組方法同上，故··種方法中有重復(fù)，應(yīng)剔除.注意到a、b,c、d，e、f的所有排列只對應(yīng)一種分堆方法，故分堆方法應(yīng)為=15種方法.

本題還可用下面的方法處理：

設(shè)每堆2本的分法為x.分給甲、乙、丙每人兩本，則可分步進(jìn)行，先平均分成3堆，有x種方法，再將3堆不同的書送給3位同學(xué)，有種方法.所以x·=··.所以x=15.

(6)同(5)，有=45種方法.

(7)同(5)(6),有·=1 080種方法.

小結(jié):(1)以“書”為主元素比以“人”為主元素考慮要方便.

(2)平均分組應(yīng)防止重復(fù).

(3)平均(部分均勻)分成m組，則需除以，若有序，則再乘以全排列.

(4)復(fù)雜問題〔如(7)〕可先組合(分組)后排序.