Question

已知直線l過(guò)點(diǎn)M（-3，-3），圓N：x²+y²+4y-21=0，l被圓N所截得的弦長(zhǎng)為4

5

．
（1）求點(diǎn)N到直線l的距離；
（2）求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l與圓N交于A和B兩點(diǎn)，過(guò)N作ND垂直于AB，根據(jù)垂徑定理得到D為AB中點(diǎn)，把圓N的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心N的坐標(biāo)和半徑r，由|AB|的長(zhǎng)，得到|DB|的長(zhǎng)，再由半徑r的值，利用勾股定理求出|ND|的長(zhǎng)，即為N到直線l的距離；
（2）若直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x=-3，求出此時(shí)|AB|的長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)與已知的弦長(zhǎng)不相等，推出矛盾，故直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，再根據(jù)直線l過(guò)M點(diǎn)，表示出直線l的方程，由（1）得到N到直線l的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心N到設(shè)出的直線l的距離，進(jìn)而列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出直線l的方程．

解答：解：（1）設(shè)直線l與圓N交于A，B兩點(diǎn)（如圖）
作ND⊥AB交直線l于點(diǎn)D，顯然D為AB的中點(diǎn)，…（2分）
由x²+y²+4y-21=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：x²+（y+2）²=25，
∴圓心N（0，-2），r=5，…（4分）又|AB|=4

5

，
∴|ND|=

r2-( |AB| 2 )2

=

5

，即點(diǎn)N到直線l的距離為

5

；…（6分）
（2）若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-3，
∴N到l的距離為3，又圓N的半徑為5，
易知

|AB|

2

=4，即|AB|=8≠4

5

，不符合題意，
故直線l的斜率存在；…（8分）
于是設(shè)直線l的方程為：y+3=k（x+3），即kx-y+3k-3=0，
∴圓心N（0，-2）到直線l的距離d=

|-(-2)+3k-3|

1+k2

=

|3k-1|

1+k2

，①
由（1）知，d=

5

，②…（10分）
由①②可以得到k=2，或k=-

1

2

，
則直線l的方程為2x-y+3=0或x+2y+9=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，垂徑定理，勾股定理，點(diǎn)到直線的距離公式，直線的點(diǎn)斜式方程，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合性較強(qiáng)的中檔題．當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常由作出弦心距，利用垂徑定理得到垂足為弦的中點(diǎn)，進(jìn)而由弦心距，弦長(zhǎng)的一半及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．