Question

16、已知真命題：若A為⊙O內(nèi)一定點(diǎn)，B為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交直線OB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是

O、A為焦點(diǎn)，OB長為長軸長的橢圓

．類比此命題，寫出另一個(gè)真命題：若A為⊙O外一定點(diǎn)，B為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交直線OB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是

以O(shè)，A為焦點(diǎn)，OB為實(shí)軸長的雙曲線

．

Answer 1

分析：本題考察的知識(shí)點(diǎn)為，利用合情推理，結(jié)合橢圓、雙曲線的定義及圓與直線的相關(guān)性質(zhì)，推導(dǎo)新的結(jié)論．熟練掌握橢圓、雙曲線的定義及圓與直線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．

解答：解：（1）∵A為⊙O內(nèi)一定點(diǎn)，B為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)
線段AB的垂直平分線交直線OB于點(diǎn)P，
則PA=PB，則PA+P0=PB+PO=OB=R
即動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)O、A的距離和為定值，
根據(jù)橢圓的定義，可得點(diǎn)P的軌跡是：O、A為焦點(diǎn)，OB長為長軸長的橢圓
（2）∵A為⊙O外一定點(diǎn)，B為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)
線段AB的垂直平分線交直線OB于點(diǎn)P，
則PA=PB，則PA-P0=PB-PO=OB=R
即動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)O、A的距離差為定值，
根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)P的軌跡是：以O(shè)，A為焦點(diǎn)，OB為實(shí)軸長的雙曲線

點(diǎn)評(píng)：橢圓是平面上到兩定點(diǎn)的距離之和為常值的點(diǎn)之軌跡，也可定義為到定點(diǎn)距離與到定直線間距離之比為常值的點(diǎn)之軌跡．雙曲線是指與平面上兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值的點(diǎn)的軌跡，也可以定義為到定點(diǎn)與定直線的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)的點(diǎn)之軌跡．