（2013•煙臺二模）已知橢圓的中心是原點O，焦點在x軸上，過其右焦點F作斜率為1的直線l交橢圓于A．B兩點，若橢圓上存在一點C，使四邊形OACB為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△OAC的面積為15
5
，求這個橢圓的方程．
分析：（1）設(shè)出直線、橢圓的方程，聯(lián)立方程，利用韋達定理，結(jié)合四邊形OACB為平行四邊形，確定C的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求得離心率；
（2）求出AB，原點到直線l的距離，可得△OAB的面積，利用△OAC的面積為15
5
，求這個橢圓的方程．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，直線l：y=x-c
A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點為（x0，y0），則
直線方程代入橢圓方程可得（a2+b2）x2-2a2cx+a2（c2-b2）=0
∴x1+x2=
2a2c
a2+b2
，∴x0=
a2c
a2+b2
，y0=x0-c=
-b2c
a2+b2

∵四邊形OACB為平行四邊形
∴C（
2a2c
a2+b2
，
-2b2c
a2+b2
）
代入橢圓方程并化簡可得4c2=a2+b2
∵b2=a2-c2
∴2a2=5c2
∴e=
10
5
；
（2）由題意，S△OAC=S△OAB
∵直線AB過焦點F，∴AB=AF+FB=（a-ex1）+（a-ex1）=2a-e（x1+x2）=2a-e•
2a2c
a2+b2
①
∵e=
10
5
，∴c=
10
5
a，b2=
3
5
a2
代入①，可得AB=
3
2
a
∵原點到直線l的距離d=
c
2
=
5
5
a
∴△OAB的面積等于
1
2
AB•d=
3
5
20
a2
由
3
5
20
a2=15
5
，可得a=10，∴b2=60
∴橢圓的方程為
x2
100
+
y2
60
=1．
點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準方程，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
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