如圖，已知A是橢圓＝1(a＞b＞0)上的一個動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，弦AB過點F2，當AB⊥x軸時，恰好有|AF1|＝3|AF2|．

(1)求橢圓的離心率；

(2)設(shè)P是橢圓的左頂點，PA，PB分別與橢圓右準線交與M，N兩點，求證：以MN為直徑的圓D一定經(jīng)過一定點，并求出定點坐標．

答案：
解析：

　　解：(1)由條件可得,解得　.3分

　　(2)由(1)可設(shè)橢圓方程為其右準線方程為，

　　①當軸時，易得，由三點共線可得則圓D的方程為，即易得圓過定點　6分

　�、诋�斜率存在時,設(shè)其方程為,,把直線方程代入橢圓方程得:

　　

　　,

　　故直線的方程為,令得,同理可得　9分

　　＝

　　

　　所以在以為直徑的圓上,

　　綜上,以為直徑的圓一定經(jīng)過定點　12分


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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：天利38套《2009高考模擬試題匯編附加試題》、數(shù)學文科 題型：022

如圖，已知A、B兩點分別是橢圓C：的左頂點和上頂點，而F是橢圓C的右焦點，若，則橢圓C的離心率e＝________．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年河北省高三3月月考數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；

(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1；

(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年江蘇省高二上學期期末測試數(shù)學試卷 題型：解答題

（本小題滿分15分）如圖，已知橢圓：＋＝1(a＞b＞0)的長軸AB長為4，離心率e＝，O為坐標原點，過B的直線l與x軸垂直．P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP＝PQ，連結(jié)AQ延長交直線于點M，N為的中點．

（1）求橢圓的方程；

（2）證明：Q點在以為直徑的圓上；

（3）試判斷直線QN與圓的位置關(guān)系．

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：＝1(a>b>0)的長軸長是短軸長的2倍，且過點C(2,1)，點C關(guān)于原點O的對稱點為D.

(1)求橢圓E的方程；

(2)點P在橢圓E上，直線CP和DP的斜率都存在且不為0，試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由；

(3)平行于CD的直線l交橢圓E于M、N兩點，求△CMN面積的最大值，并求此時直線l的方程．

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