過拋物線C:上的點M分別向C的準線和x軸作垂線,兩條垂線及C的準線和x軸圍成邊長為4的正方形,點M在第一象限.
(1)求拋物線C的方程及點M的坐標;
(2)過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與拋物線C交于A,B兩點,如果點M在直線AB的上方,求面積的最大值.
(1)y2=8x,(2,4);(2).
【解析】
試題分析:本題主要考查拋物線的標準方程及其幾何性質、韋達定理、點到直線的距離、三角形面積公式、利用導數(shù)求函數(shù)的最值等基礎知識,考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問,由題意結合拋物線圖象得到M點坐標,代入拋物線方程中,解出P的值,從而得到拋物線的標準方程及M點坐標;第二問,設出A,B點坐標,利用M點,分別得到直線MA和直線MB的斜率,因為兩直線傾斜角互補,所以兩直線的斜率相加為0,整理得到y(tǒng)1+y2=-8,代入到中得到直線AB的斜率,設出直線AB的方程,利用M點在直線AB上方得到b的范圍,令直線與拋物線方程聯(lián)立,圖形有2個交點,所以方程的進一步縮小b的范圍,,而用兩點間距離公式轉化,d是M到直線AB的距離,再利用導數(shù)求面積的最大值.
(1)拋物線C的準線x=-,依題意M(4-,4),
則42=2p(4-),解得p=4.
故拋物線C的方程為y2=8x,點M的坐標為(2,4), 3分
(2)設.
直線MA的斜率,同理直線MB的斜率.
由題設有,整理得y1+y2=-8.
直線AB的斜率. 6分
設直線AB的方程為y=-x+b.
由點M在直線AB的上方得4>-2+b,則b<6.
由得y2+8y-8b=0.
由Δ=64+32b>0,得b>-2.于是-2<b<6. 9分
,
于是.
點M到直線AB的距離,則△MAB的面積
.
設f(b)=(b+2)(6-b)2,則f?(b)=(6-b)(2-3b).
當時,f?(x)>0;當時,f?(x)<0.
當時,f(b)最大,從而S取得最大值. 12分
考點:拋物線的標準方程及其幾何性質、韋達定理、點到直線的距離、三角形面積公式、利用導數(shù)求函數(shù)的最值.
科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年河北省石家莊市畢業(yè)班第一次模擬考試數(shù)學理文數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
如圖在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,頂點A1在底面ABC上的射影恰為點B,且AB=AC=A1B=2.
(1)證明:平面A1AC⊥平面AB1B;
(2)若點P為B1C1的中點,求三棱錐P-ABC與四棱錐P-AA1B1B的體積之比.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年河北省唐山市高三年級第二次模擬考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知,若為實數(shù),則( )
A.2 B.-2 C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年河北省唐山市高三年級第二次模擬考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
正三棱柱的底面邊長為,高為2,則直三棱柱的外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年河北省唐山市高三年級第二次模擬考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知,若為實數(shù),則( )
A.2 B.-2 C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年河北省唐山市高三年級第三次模擬考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
觀察等式:,,.照此規(guī)律,對于一般的角,有等式 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年河北省唐山市高三年級第三次模擬考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
右上圖是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積等于( )
A.1 B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年河北省唐山市高三年級第三次模擬考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
觀察等式:,,.照此規(guī)律,對于一般的角,有等式 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年河北省高三下學期調研考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=2ax--(2+a)lnx(a≥0).
(1)當a=0時,求f(x)的極值;
(2)當a>0時,討論f(x)的單調性;
(3)若對任意的a∈(2,3),x1,x2∈[1,3],恒有(m-ln3)a-2ln3>|f(x1)-f(x2)|成立,求實數(shù)m的取值范圍。
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