已知f（x）在x=a處可導，且f′（a）=b，求下列極限：
（1）
lim
△h→0
f(a+3h)-f(a-h)
2h
；
（2）
lim
△h→0
f(a+h2)-f(a)
h
．
分析：（1）利用導數(shù)的定義把
lim
△h→0
f(a+3h)-f(a-h)
2h
轉(zhuǎn)化為
lim
h→0
f(a+3h)-f(a)+f(a)-f(a-h)
2h
，然后整理為
3
2
lim
h→0
f(a+3h)-f(a)
3h
+
1
2
lim
h→0
f(a-h)-f(a)
-h
，由此可得
lim
△h→0
f(a+3h)-f(a-h)
2h
．

（2）利用導數(shù)的定義把
lim
△h→0
f(a+h2)-f(a)
h
轉(zhuǎn)化為
lim
h→0
[
(a+h2) -f(a)
h2
h]，然后整理為
lim
h→0
f(a+h2) -f(a)
h2
•
lim
h→0
h，由此可得
lim
△h→0
f(a+h2)-f(a)
h
的值．
解答：解：（1）
lim
△h→0
f(a+3h)-f(a-h)
2h
=
lim
h→0
f(a+3h)-f(a)+f(a)-f(a-h)
2h

=
lim
h→0
f(a+3h)-f(a)
2h
+
lim
h→0
f(a)-f(a-h)
2h

=
3
2
lim
h→0
f(a+3h)-f(a)
3h
+
1
2
lim
h→0
f(a-h)-f(a)
-h

=
3
2
f′ (a)+
1
2
f′(a)=2b．
（2）
lim
△h→0
f(a+h2)-f(a)
h
=
lim
h→0
[
(a+h2) -f(a)
h2
h]
=
lim
h→0
f(a+h2) -f(a)
h2
•
lim
h→0
h=f′（a）•0=0．
點評：本題考查導數(shù)的定義，解題時要熟練掌握導數(shù)的概念．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f 1(x)=|3x-1|，f2(x)=|a•3x-9|(a＞0)，x∈R，且f（x）=
f1(x)，f1(x)≤f2(x)
f2(x)，f1(x)＞f2(x)

（1）當a=1時，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，若方程f（x）-m=0有4個不等的實根，求實數(shù)m的范圍；
（3）當2≤a＜9時，設f（x）=f2（x）所對應的自變量取值區(qū)間的長度為l（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m），試求l的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）的定義域為{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=-x2+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2
（1）求b，c的值；
（2）求f（x）在x＜0時的表達式；
（3）若關于x的方程f（x）=ax，（a∈R）有解，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•上海模擬）已知f（x）在x∈[a，b]上的最大值為M，最小值為m，給出下列五個命題：
①若對任何x∈[a，b]都有p≤f（x），則p的取值范圍是（-∞，m]；
②若對任何x∈[a，b]都有p≤f（x），則p的取值范圍是（-∞，M]；
③若關于x的方程p=f（x）在區(qū)間[a，b]上有解，則p的取值范圍是[m，M]；
④若關于x的不等式p≤f（x）在區(qū)間[a，b]上有解，則p的取值范圍是（-∞，m]；
⑤若關于x的不等式p≤f（x）在區(qū)間[a，b]上有解，則p的取值范圍是（-∞，M]；
其中正確命題的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）若數(shù)學公式，設g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導函數(shù)，問是否存在實數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間數(shù)學公式上的值域為數(shù)學公式，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年高三數(shù)學第一輪基礎知識訓練（20）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）若，設g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導函數(shù)，問是否存在實數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間上的值域為，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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