Question

已知命題p：f(x)=

1-a•3x

在x∈（-∞，0]上有意義，命題q：函數y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．如果p和q有且僅有一個正確，則a的取值范圍

（-∞，

1

2

]∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：由函數f(x)=

1-a•3x

在x∈（-∞，0]上有意義可得p；由函數y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．可得ax²-x+a＞0恒成立，結合二次函數的性質可求q，而p和q有且僅有一個正確即是①p正確而q不正確，②q正確而p不正確，兩種情況可求a的范圍

解答：解：x∈（-∞，0]時，3^x∈（0，1]，
∵函數f(x)=

1-a•3x

在x∈（-∞，0]上有意義，
∴1-a•3^x≥0，∴a≤

1

3x

，
∴a≤1，
即使p正確的a的取值范圍是：a≤1．（2分）
由函數y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．可得ax²-x+a＞0恒成立
（1）當a=0時，ax²-x+a=-x不能對一切實數恒大于0．
（2）當a≠0時，由題意可得，△=1-4a²＜0，且a＞0
∴a＞

1

2

．
故q正確：a＞

1

2

．（4分）
①若p正確而q不正確，則

a≤1 a≤ 1 2

，即a≤

1

2

，（6分）
②若q正確而p不正確，則

a＞1 a≤0，或a＞1

，即a＞1，（8分）
故所求的a的取值范圍是：（-∞，

1

2

]∪（1，+∞）．
故答案為：（-∞，

1

2

]∪（1，+∞）．

點評：本題考查命題的真假判斷和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意函數的定義域的合理運用．