Question

如圖為一個(gè)纜車示意圖，該纜車半徑為4.8m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面距離是h．
（1）求h與θ間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)從OA開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t秒后到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)用的最少時(shí)間是多少？

Answer 1

分析：（1）以圓心O為原點(diǎn)，以水平方向?yàn)閤軸方向，以豎直方向?yàn)閅軸方向建立平面直角坐標(biāo)系，則根據(jù)纜車半徑為4.8m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，我們易得到到h與θ間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，我們易得點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是

π

30

，故t秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為

π

30

t，根據(jù)（1）的結(jié)論，我們將

π

30

t代入解析式，即可得到滿足條件的t值．

解答：解：（1）以圓心O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為θ-

π

2

，
故點(diǎn)B的坐標(biāo)為
（4.8cos(θ-

π

2

)，4.8sin(θ-

π

2

)），
∴h=5.6+4.8sin(θ-

π

2

)．
（2）點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是

π

30

，故t秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為

π

30

t，
∴h=5.6+4.8sin(

π

30

t-

π

2

)，t∈[0，+∞）．
到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，h=10.4m．
由sin(

π

30

t-

π

2

)=1
得

π

30

t-

π

2

=

π

2

，
∴t=30
∴纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，用的時(shí)間最少為30秒．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型，在建立函數(shù)模型的過(guò)程中，以圓心O為原點(diǎn)，以水平方向?yàn)閤軸方向，以豎直方向?yàn)閅軸方向建立平面直角坐標(biāo)系，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，是解答的關(guān)鍵．