Question

設(shè)函數(shù)，其圖象與軸交于，兩點，且x1＜x2．

（1）求的取值范圍；

（2）證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）；

（3）設(shè)點C在函數(shù)的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記，求

的值．

 

Answer 1

（1）;（2）詳見解析;（3）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意圖象與軸交于，兩點，由零點的定義可得：函數(shù)的圖象要與x軸有兩個交點，而此函數(shù)的特征不難發(fā)現(xiàn)要對它進行求導(dǎo)，運用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系進行求函數(shù)的性質(zhì)，即：，a的正負(fù)就決定著導(dǎo)數(shù)的取值情況，故要對a進行分類討論：分和兩種情況，其中顯然不成立，時轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值小于零，即可求出a的范圍; （2）由圖象與軸交于，兩點，結(jié)合零點的定義可得：整理可得：，觀察其結(jié)構(gòu)特征，可想到整體思想，即：，目標(biāo)為：，運用整體代入化簡可得：，轉(zhuǎn)化為對函數(shù)進行研究，運用導(dǎo)數(shù)知識不難得到，即：，故而是單調(diào)增函數(shù)，由不等式知：，問題可得證; （3）由題意有，化簡得，而在等腰三角形ABC中，顯然只有C = 90°，這樣可得，即，結(jié)合直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，可知，所以，即，運用代數(shù)式知識處理可得： ，而，所以，即，所求得

試題解析：（1）．

若，則，則函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，這與題設(shè)矛盾． 2分

所以，令，則．

當(dāng)時，，是單調(diào)減函數(shù)；時，，是單調(diào)增函數(shù)；

于是當(dāng)時，取得極小值． 4分

因為函數(shù)的圖象與軸交于兩點，(x1＜x2)，

所以，即

此時，存在；

存在，

又由在及上的單調(diào)性及曲線在R上不間斷，可知為所求取值范圍. 6分

（2）因為 兩式相減得

記，則， 8分

設(shè)，則，所以是單調(diào)減函數(shù)，

則有，而，所以．

又是單調(diào)增函數(shù)，且

所以． 11分

（3）依題意有，則．

于是，在等腰三角形ABC中，顯然C = 90°， 13分

所以，即，

由直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，可知，

所以，即，

所以，

即．

因為，則，

又，所以， 15分

即，所以 16分

考點：1.函數(shù)的圖象性質(zhì);2.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運用;3.函數(shù)與不等式的綜全運用